Runge-Kutta 方法对凸梯度系统的收缩性

我们考虑将 Runge-Kutta (RK) 方法应用于梯度系统 $(d/dt)x = -\nabla V(x)$，其中与许多优化问题一样，$V$ 是凸的且 $\nabla V$ 是（全局）Lipschitz 连续的，Lipschitz 常数为 $L$。该系统的解具有收缩性，即两个解 $x(t)$ 与 $\widetilde{x}(t)$ 之间的欧氏距离是 $t$ 的非增函数。进而值得研究的是，至少在步长 $h$ 适当小时，离散解是否也呈现类似的收缩性。Dahlquist 和 Jeltsch 的结果表明：(1) 存在显式 RK 格式，只要 $Lh$ 低于依赖于格式的常数就具有收缩性；(2) 在这方面 Euler 法是最优的。然而，我们通过利用鲁棒控制理论的思想显式构造凸势函数，证明了存在对于任意时间步长 $h$ 的选择都不具有收缩性的 RK 格式。