格点薛定谔算子的连续极限

我们研究周期格点上 Helmholtz 方程 $(- \Delta_{disc,h} - E)u_h = f_h$ 的解在网格尺寸 $h$ 趋于 0 时的行为。投影到特征根 $\lambda_h(\xi)$ 的特征空间并利用与狄拉克点相关的规范变换，我们证明规范变换后的解 $u_h$ 收敛于 ${\bf R}^d$ 上连续模型方程 $(P(D_x) - E)v = g$ 的解，其中 $\lambda_h(\xi) \to P(\xi)$。对于六角形及相关格点，{在合适的能量区域中}，它收敛于狄拉克方程的解。对于正方形格点、三角形格点、{六角形格点（在另一能量区域）}以及正方形格点的细分，可加入标量势，且格点薛定谔方程 $( - \Delta_{disc,h} +V_{disc,h} - E)u_h = f_h$ 的解收敛于连续薛定谔方程 $(P(D_x) + V(x) -E)u = f$ 的解。