连续与离散一维自治分数阶常微分方程

在本文中，我们研究一维自治分数阶常微分方程 $D_c^{\gamma}u=f(u), 0< \gamma <1$，其中 $u: [0,\infty)\mapsto\mathbb{R}$ 是未知函数，$D_c^{\gamma}$ 是由 Li 和 Liu 引入的广义 Caputo 导数（arXiv:1612.05103）。基于先前工作中的存在唯一性定理和正则性结果，我们展示了自治分数阶常微分方程解的单调性以及若干版本的比较原理。我们还对 $f(u)=Au^p$ 的渐近行为进行了详细讨论。特别地，基于 Osgood 型爆破准则，我们找到了在 $A>0, p>1$ 情况下爆破时间的相对尖锐界。这些界表明，随着记忆效应变强（$\gamma\to 0$），若初值大，爆破时间趋于零；而若初值小，爆破时间趋于无穷。在 $A<0, p>1$ 情况下，我们证明解比通常导数情形衰减到零更慢。最后，我们给出了离散化方程的若干比较原理和 Grönwall 不等式，并进行了一些数值模拟以证实我们的分析。