分拆的内容与亏格0下置换因子分解的组合学

研究的核心对象是我们称之为内容级数（content series）的形式幂级数，它是一个对称函数，涉及分拆中单元格内容的一个任意底层形式幂级数 $f$。在先前工作中，我们已证明内容级数满足 KP 方程。本文的主要结果是一个新的偏微分方程，内容级数在其满足简单初始条件下是该方程的唯一解。该方程用我们称为 $\mathcal{U}$ 和 $\mathcal{D}$ 算子的算子族表示，它们对 Schur 对称函数 $s_{\lambda}$ 的作用可简单地用 $\lambda$ 中单元格内容幂表示。在我们的结果中，我们显式地将 ${\mathcal{U}}$ 和 ${\mathcal{D}}$ 算子构造为底层幂和对称函数中的偏微分算子。我们还借助对称群群代数中的 Jucys-Murphy 元素给出了内容级数的组合解释。这导致将内容级数解释为任意亏格 $g$ 的黎曼面对球面的分支覆盖的生成级数。作为特例，通过适当选择底层级数 $f$，内容级数特化为三类已知分支覆盖的生成级数：Hurwitz 数、单调 Hurwitz 数和 $m$-超地图数。我们应用我们的偏微分方程给出这三类数在亏格 $0$ 下显式公式的新证明。对于 Bousquet-Mélou 与 Schaeffer 的 $m$-超地图数，这是该结果的第一个代数证明。