多胞体与谱多面体的包含问题

我们研究给定的多胞体或谱多面体 $S_A$（由线性矩阵束 $A(x)$ 的半正定区域给出）是否包含于另一个谱多面体 $S_B$ 中的计算问题。首先，我们将 Gritzmann 和 Klee 关于多胞体/多胞体情形的结果推广到多胞体/谱多面体情形，对其计算复杂度进行分类。对于多种受限的包含问题，我们证明了其 NP 困难性。随后，在 Ben-Tal、Nemirovski 以及 Helton、Klep、McCullough 工作的基础上，我们详细研究了用于认证包含关系的半定条件。特别地，我们讨论了用于认证谱多面体包含于谱多面体中的充分半定条件的若干变体。结果表明，在若干重要情形下，这些充分条件甚至能提供精确的半定刻画，包括谱多面体包含于多面体中的情形。此外，在 $S_A$ 有界的情形下，该判据总能成功认证某个缩放谱多面体 $\nu S_A$ 包含于 $S_B$ 中。