由 R^3 的斜纤维丛诱导的接触结构

$\mathbb{R}^3$ 由有向直线构成的光滑纤维丛由一个光滑单位向量场 $V$ 给出，其所有积分曲线均为有向直线。若任意两条纤维不平行，则称该纤维丛为斜的；若 $\nabla V$ 仅在 $V$ 方向上为零，则称其为非退化的。非退化是一种局部斜性，尽管事实上任意非退化纤维丛都是整体斜的。非退化与斜纤维丛近来已从几何与拓扑视角分别被研究，部分源于它们与 $S^3$ 中大圆纤维丛的密切关系。$\mathbb{R}^3$ 的任意有向直线纤维丛都在 $\mathbb{R}^3$ 上诱导一个平面场，取过每点唯一直线的正交平面而得。我们证明任意非退化纤维丛诱导的平面场是一个紧接触结构。为证明接触性，我们需要非退化纤维丛的一个新刻画；而紧性的证明使用了 Etnyre、Komendarczyk 和 Massot 关于接触度量三维流形中紧性的近期结果。最后给出若干例子，以凸显大圆纤维丛、非退化纤维丛、斜纤维丛及纤维丛所关联接触结构之间的关系。