球相切、线关联与李的线-球对应

Joshua Zahl

doi:10.1017/S0305004121000256

球相切、线关联与李的线-球对应

组合数学 2023-08-24 v2 计算几何度量几何

作者: Joshua Zahl

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摘要

两个中心为 $p$ 和 $q$ 、有符号半径为 $r$ 和 $s$ 的球，若满足 $|p-q|^2 = (r-s)^2$ ，则称其接触。利用李的线-球对应，我们证明：若 $F$ 是一个 $-1$ 不是平方元的域，则在 $F^3$ 中球的集合与一个适当构造并嵌入于 $(F[i])^3$ 中的海森堡群的线的集合之间存在同构；在此同构下，球之间的接触转化为线之间的关联。过去十年中，在理解三维空间中线的关联几何方面取得了显著进展。接触-关联同构使我们能够将关于线关联几何的命题转化为关于球接触几何的命题。这为 $F^3$ 中Erd\H{o}s重复距离问题带来了新的界，并改进了三维中点-球关联的数量界。这些新界在特定参数范围内是紧的。

关键词

球相切线关联李对应海森堡群埃尔德什问题关联几何

引用

@article{arxiv.2002.11677,
  title  = {Sphere tangencies, line incidences, and Lie's line-sphere correspondence},
  author = {Joshua Zahl},
  journal= {arXiv preprint arXiv:2002.11677},
  year   = {2023}
}

备注

20 pages, 2 figures. v2: minor changes in response to referee comments. To appear in Math. Proc. Camb. Philos. Soc

球相切、线关联与李的线-球对应

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关键词

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