音乐中的协和性——重访毕达哥拉斯方法
历史与综述
2025-03-12 v1
摘要
毕达哥拉斯学派将音乐中的协和性归因于音调之间频率比的简单性。在过去的两个世纪里，亥姆霍兹、普洛姆特和莱维尔特提出的协和曲线将焦点转向了感知协和时的心理声学考量。这些曲线在毕达哥拉斯学派所考虑的比率处出现峰值，这源于通过优美的数学比例来理解世界的尝试，至今仍是一个谜。本文通过描述音乐声的数学模型以及协和性的数学定义来解答这一谜团。首先，我们将纯音、复音和混合音定义为音乐声的数学模型。通过一系列数值实验和解析计算，我们证明将这些模型应用于连续余弦相似度（简称 cosim）能够量化协和性这一难以捉摸的概念，即作为 cosim 函数局部最大值的频率比。我们证明这些最大值出现在古典音乐理论中视为协和的比率处。此外，我们提供了一个简单的解释，说明为什么音乐家视为协和的音程数量是有限的，但几个世纪以来一直在增加。具体来说，我们的公式表明，协和音程的数量随音的深度（存在的泛音数量）而变化。
引用
@article{arxiv.2503.07632,
title = {Consonance in music -- the Pythagorean approach revisited},
author = {Jan Cichowlas and Paweł Dłotko and Marek Kuś and Jan Spaliński},
journal= {arXiv preprint arXiv:2503.07632},
year = {2025}
}