数域上扭旋约数函数范围连通分支的数目

设 $r\in\mathbb{C}$，设 $K$ 为 $\mathbb{Q}$ 的有限扩张，设 $I_K$ 为环 $\mathcal{O}_K$ 中整数理想的单摆 (monoid)，设 $\chi$ 为 Dirichlet 字符。则定义扭旋理想约数函数 $\sigma_{r, K, \chi} : I_K \rightarrow \mathbb{C}$ 为\n\n$$\sigma_{r,K,\chi}(I) = \sum_{J \mid I} N(J)^{-r}\chi(N(J)),$$\n\n其中 $N$ 表示理想范数。对于实数 $r>1$，我们研究闭集 $\overline{\sigma_{r,K,\chi}(I_K)}$ 的连通分支数目 $C_{r, K, \chi}$，当 $\chi$ 为模 1 的平凡字符时记作 $C_{r,K}$。我们证明当 $\chi$ 为实值函数时，$C_{r,K,\chi}$ 为有限数。当 $K = \mathbb{Q}$ 时，我们证明对于固定的 $r > 1$，每个足够大的正整数都可表示为 $C_{r,\mathbb{Q},\chi}$，且若 $r$ 足够大，则每个正整数都可通过 $\chi$ 的变化来表示。对于 $\mathbb{Q}$ 上的有限伽罗�扩张 $K$，我们给出新的指数下界以估计 $C_{r,K}$，并证明对于每个固定整数 $s \geq 2$，当 $K$ 范围在次数为 $s$ 的 $\mathbb{Q}$ 扩张时，$C_{r,K}$ 的值是无界的。