Stationary planar forests' connected components and topological ends

我们研究平処平面随机几何森林 $G$ 的拓扑结构，在温和假设下：非相交边、平稳性和有限边强度。该框架涵盖广泛的构建，包括基于平稳点过程或晶格的模型，涵盖许多已被广泛研究的例子，如排水网络、来自第一/最后通透路径的测地森林，以及最小或均匀生成树。首先，记 $N_k$ 为 $G$ 中具有 $k$ 个拓扑端的连通分量数量，其中 $k\geq0$，我们显示几乎必然所有树都最多有两个拓扑端，$N_0\in\{0,\infty\}$，$N_1\leq2$，且 $N_1=2\implies N_2<\infty$。随后我们构造显式实例实现所有与这些约束兼容的可能性，给出 $G$ 可接受拓扑结构的完整分类。作为第二个结果，我们证明在额外假设 $G$ 非空、有向、出度为一，且其所有有向路径沿固定确定性方向无限延伸的情况下，情况简化为二分法：$G$ 几乎必然由唯一一个单端树，或无限多个双端树组成。后者推广了 Chaika 和 Krishnan（2019）的定理，后者考察了晶格情形。我们的证明结合经典的 Burton-Keane 类型论证，以及使用平面拓扑的大量新颖概念思想， resulting in a robust, unified approach.