一维谐振子的共轭算子

一维谐振子$N$的共轭算子$T$定义为在某个域（不一定是稠密域）上满足正则对易关系$[N,T]=-i\one$的算子。共轭算子的例子包括角度算子$\TA$和Galapon算子$\TG$。设$\sT$表示$N$的形如$T_{\omega,m}=\frac{i}{m}\log(\omega\one-L^m)$的共轭算子集合，其中$(\omega, m)\in \overline{\DD}\times (\NN\setminus\{0\})$，$L$是移位算子，$\DD$表示复平面$\CC$中的开单位圆盘。给出了$\sT$的分类：$\sT=\sT_{\{0\}}\cup\sT_{\DD\setminus\{0\}}\cup \sT_{\partial \DD}$，其中$\TA\in\sT_{\{0\}}$，$\TG\in \sT_{\partial \DD}$。该分类由一对参数$(\om,m)\in\CC\times\NN$指定。最后，研究了$T_{\om,m}\in\sT$的时间演化$T_{\om,m}(t)=e^{itN} T_{\om,m}e^{-itN}$，并证明$T_{\om,m}(t)$关于$t$是周期的。