共轭语言与相对于群子集的共轭增长

本文探讨了当基础问题是广义共轭问题（带约束）时的共轭语言：给定$g\in G$和$U\subset G$，$g$在$U$中是否有共轭元（共轭元来自某个子集）？为此，对于子集$U,V\subseteq G$，我们定义了相应的语言$\text{ConjGeo(U,V)}$、$\text{CycGeo(U)}$、$\text{ConjSL(U)}$和$\text{ConjMinLenSL(U,V)}$，这遵循了先前研究的$U=V=G$的情况。我们的结果涵盖了几类群：对于自由群，我们证明如果$U$和$V$是有理子集，则$\text{ConjGeo(U,V)}$和$\text{ConjMinLenSL(U,V)}$是正则的；对于双曲群，我们证明如果$L$是测地线的正则语言，且$U$是由其表示的子集，则$\text{ConjGeo(U)}$和$\text{ConjMinLenSL(U)}$是正则的；对于几乎循环群，我们证明如果$U$是有理子集，则$\text{ConjSL(U)}$是正则的；对于几乎阿贝尔群，我们证明当表示$U$中元素的单词语言也属于某类语言$\C$时，$\text{ConjGeo(U)}$属于$\C$。我们还定义了相对共轭增长，并表明其行为可能严重依赖于子集的选择。