Catalan-Larcombe-French 数的同余式

设 $\{P_n\}$ 为 Catalan-Larcombe-French 数，由 $P_0=1,\ P_1=8$ 及 $n^2P_n=8(3n^2-3n+1)P_{n-1}-128(n-1)^2P_{n-2}$ $(n\ge 2)$ 给出，并令 $S_n=P_n/2^n$。本文我们推导出 $S_{mp^r}\pmod{p^{r+2}}$、$S_{mp^r-1}\pmod{p^r}$ 与 $S_{mp^r+1}\pmod{p^{2r}}$ 的同余式，其中 $p$ 为奇素数，$m,r$ 为正整数。我们还证明了对于任意满足 $p\equiv 5,7\pmod 8$ 的素数 $p$，有 $S_{(p^2-1)/2}\equiv 0\pmod {p^2}$，并表明 $\{S_m\}$ 是对数凸的。