Riemannian 度量的共形变换与双调和映射

对于 Baird 和 Kamissoko \cite{BK} 提出的关于从一个 Riemannian 流形 $(M^m,g)$ 到另一个 Riemannian 流形 $(N^n,h)$ 的双调和映射的约化常微分方程，我们证明了对每个 $m\geq 5$ 该 ODE 不存在全局正解。相反，我们证明在 $m=3$ 的情形下存在全局正解。作为应用，对于直线与一个 Riemann 面的 Riemannian 积 $(M^3,g)$，我们在 $M^3$ 上构造了与 $g$ 共形的新度量 $\widetilde{g}$，使得每一个关于原度量 $g$ 的非平凡积调和映射，在关于新度量 $\widetilde{g}$ 时必定是双调和的而非调和的。