受限诱导漂移在表面活性剂Marangoni驱动输运中的拉格朗日视角

在日本Suminagashi水墨大理石纹艺术技法中，将混有表面活性剂的彩色墨水滴依次滴在薄水膜上以形成大理石纹图案。为了理解这一现象以及其他表面活性剂在气液界面输运载附被动物质的应用背后的物理机制，我们研究了在不可溶表面活性剂Marangoni驱动铺展下，受限黏性液体薄液膜表面物质粒子的拉格朗日轨迹。我们研究了一个模型问题：若干 exogenous 表面活性剂沉积同时在一个含有预存 endogenous 表面活性剂的有限矩形表面上铺展。我们推导了控制Marangoni驱动表面流的欧拉与拉格朗日表述。两种描述都展示了受限如何在铺展过程中诱导漂移与流动反转。拉格朗日表述无需计算表面活性剂浓度即可捕捉轨迹；然而，浓度仍可由从初始到当前粒子位置的映射的雅可比行列式推断。我们探索了薄膜表面活性剂动力学与最优输运理论之间的联系，通过求解Monge-Ampère方程，为任意给定初始条件找到物质粒子的近似平衡位置。我们发现，当 endogenous 表面活性剂浓度$\delta$趋于零时，采用Monge-Ampère近似的沉积平衡形状趋近于多边形，其角点在长度尺度按$\delta^{1/2}$缩放时以自相似方式弯曲。我们探索了如何通过计算高效的Monge-Ampère方程连续求解来生成Suminagashi图案。