各向异性网格上线性扩散方程有限元逼近的隐式 Runge-Kutta 积分条件数分析
数值分析
2021-01-13 v3 数值分析
摘要
本文研究了在一般各向异性网格上，线性扩散方程有限元逼近的隐式 Runge-Kutta (RK) 积分条件数。针对隐式 Euler 方法和一般隐式 RK 方法，我们建立了所得线性系统在使用和不使用对角预处理时的条件数界限。对于一般隐式 RK 积分产生的线性系统，我们考虑了两种求解策略：同时求解（将系统作为一个整体求解）和逐次求解，后者遵循隐式 RK 方法的常用实现方式，即首先利用 RK 矩阵的 Jordan 标准型将系统转化为较小的系统，然后逐次求解。对于 RK 系数矩阵的对称部分为半正定时的同时求解以及逐次求解，结果表明其条件数有界。如果 RK 系数矩阵对称部分的最小特征值为负且采用同时求解策略，则给出了时间步长的上界以保证系统矩阵正定。所获得的条件数界限具有明确的几何解释，并充分考虑了扩散矩阵与网格几何之间的相互作用。它们表明，有三个依赖于网格的因素会影响条件数：单元数量、在欧几里得度量下测量的网格非均匀性，以及相对于扩散矩阵逆的网格非均匀性。它们还揭示出，使用系统矩阵的对角线、质量矩阵或集中质量矩阵进行预处理，可以有效消除在欧几里得度量下测量的网格非均匀性的影响。文中给出了数值算例。
引用
@article{arxiv.1703.06463,
title = {Conditioning of implicit Runge-Kutta integration for finite element approximation of linear diffusion equations on anisotropic meshes},
author = {Weizhang Huang and Lennard Kamenski and Jens Lang},
journal= {arXiv preprint arXiv:1703.06463},
year = {2021}
}
备注
Accepted manuscript. \copyright 2019. Licensed under CC-BY-NC-ND 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0)