$S^1\times S^2$ 中纽结的协边

我们建立了关于 $S^1\times S^2$ 中纽结的光滑和拓扑协边的一系列结果。$S^1\times S^2$ 中纽结的环绕数定义为其在 $H_1(S^1\times S^2;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$ 中的类。我们证明了存在唯一的环绕数为 1 的纽结光滑协边类。这改进了 Friedl-Nagel-Orson-Powell 在拓扑范畴中的相应结果。如果 $S^1\times S^2$ 中的纽结在 $D^2\times S^2$ 中边界为一个光滑（ resp. 局部平坦）圆盘，则称其为片状（resp. 拓扑片状）。我们证明了存在无限多个非片状纽结的拓扑协边类，此外，对于任何不等于 $\pm 1$ 的环绕数，即使在片状纽结集合中，也存在无限多个拓扑协边类。此外，我们通过构造无限族片状纽结（它们拓扑协边但不光滑协边）以及非片状纽结（它们拓扑片状且拓扑协边，但不光滑协边），展示了光滑范畴与拓扑范畴之间的区别。