计算 $\mathcal{R}(s,n)/\mathcal{R}(k,n)$ 上等价类数目

布尔函数的仿射等价类在现代密码学与电路设计中有诸多应用。已有文献表明,布尔函数整个空间上的仿射等价性可计算至 10 个变量,但在模不同次数函数的商布尔函数空间上则不可。计算 Reed-Muller 码 $\mathcal{R}(1,n)$ 陪集的等价类数目等价于模线性函数对布尔函数进行分类,其仅能在 $n\leq 7$ 时计算。基于仿射群 $\mathcal{AGL}(n,2)$ 在 $\mathcal{R}(s,n)/\mathcal{R}(k,n)$ 上的线性表示,我们得到一个有用的计数公式以计算等价类数目。我们不直接在 $\mathcal{AGL}(n,2)$ 中计算共轭类与代表元,而是通过引入同构置换群 $P_n$ 并在 $P_n$ 中执行计算来降低计算复杂度。利用所提算法,$R(1,n)$ 陪集的等价类数目可计算至 10 个变量。此外,当 $-1\leq k< s\leq n\leq 10$ 时,$\mathcal{R}(s,n)/\mathcal{R}(k,n)$ 上的等价类数目亦可被计算,相较先前方法这是一项重大改进与进展。