通过 Newton 方法和 Smale 的 $\alpha$ 判据计算 $L^p$ 球中的周期台球轨迹
动力系统
2025-07-31 v1
摘要
我们提出了一种用于在 球中寻找和验证周期台球轨迹的计算方法，采用用于变分表述的牛顿方法。通过 Smale 的 判据对轨迹进行验证，该判据提供了轨迹存在的严格证书。我们在 JAX 中实现了高效的批量计算，并给出 various 和弹数 的系统性结果。我们的实验揭示了临界点结构中的惊人模式，包括特定 Morse 符号和旋转数的主导，这些模式取决于 的奇偶性和素数性。值得注意的是，我们的方法通常比 Birkhoff 定理保证的每个旋转数下两条周期轨迹所多发现的更多——一次规模为五次弹数的 球的大规模运行产生了 8,927 条来自 30,000 个随机种子的大量不同经验证的轨迹，揭示了呈线性增长的规律以及借助 UMAP 可视化的复杂聚类。
引用
@article{arxiv.2507.22251,
title = {Computing Periodic Billiard Orbits in $L^p$ Balls via Newton's Method and Smale's $\alpha$-Criterion},
author = {Igor Rivin},
journal= {arXiv preprint arXiv:2507.22251},
year = {2025}
}