素数分圆域类数Kummer比的计算

设$\zeta_q$为$q$次本原单位根，其中$q$为任意奇素数。分圆数域$\mathbb{Q}(\zeta_q)$的类数之Kummer第一因子与其期望数量级（关于$q$的简单函数）之比称为Kummer比，记为$r(q)$。已知通常$r(q)$接近于1，但人们仍相信它是无界的，只不过仅在极稀疏的素数序列$q$上取大值。我们提出一种计算$r(q)$的算法，仅需计算$O(q\log q)$次乘积与$O(q)$次对数。利用该算法我们得到了$r(q)$的新纪录最大值，即$r(6766811)=1.709379\dotsc$（旧纪录为$r(5231)=1.556562\dotsc$）。此处所用程序及所述结果汇总于\url{http://www.math.unipd.it/~languasc/rq-comput.html}。这是与Pieter Moree、Sumaia Saad Eddin和Alisa Sedunova合作的联合项目中计算部分的（初步）报告。