分圆域类数与 Euler-Kronecker 常数的不规则行为：log log log 魔鬼在作祟

Kummer（1851）以及多年后的 Ihara（2005）都提出了关于分圆域 $\mathbb Q(\zeta_q)$（其中 $q$ 为素数）相关不变量的猜想。Kummer 的猜想涉及 $\mathbb Q(\zeta_q)$ 类数第一因子的渐近行为，Ihara 的猜想涉及 $\mathbb Q(\zeta_q)$ 的 Euler-Kronecker 常数（在 $s=1$ 处 Dedekind zeta 函数 $\zeta_{\mathbb Q(\zeta_q)}(s)$ 的洛朗级数的常数与留数之比）的正性。如果解析数论中某些标准猜想成立，则可证明这两个猜想在自然密度为 1 的素数集上为真，但一般而言为假。对此负责的是素数分布中的不规则性。通过本综述，我们希望使读者相信 Kummer 和 Ihara 所研究的看似不同的数学对象实际上表现出非常相似的行为。