30750 比特二元域离散对数的计算

本文报道了有限域 $\mathbb F_{2^{30750}}$ 中离散对数的计算，大幅打破了先前由 2014 年 1 月在 $\mathbb F_{2^{9234}}$ 中的计算所创下的纪录。本次计算实质性地使用了 Granger、Kleinjung 和 Zumbrägel 的拟多项式算法的消去步，并且是首个真正测试并成功展示其在递归应用下潜力的大规模实验，而递归应用正是其达到所述复杂度的情形。它需要在运行频率为 2.6 GHz 的 Intel Xeon Ivy Bridge 处理器单核上约 2900 核年的等效计算量，这与素数域离散对数纪录（在比特长度为 795 的域中创下）所消耗的约 3100 核年相当，并表明在此计算量水平下该问题要容易得多。为使计算可行，我们引入了若干用于消去小次数不可约元的新技术，这意味着我们避免了执行任何代价高昂的 Gröbner 基计算，而与 2013 年初以来所有先前的纪录相反。尽管此类计算对于 $L(\frac 1 4 + o(1))$ 复杂度算法至关重要，但它们对我们的目的而言实在太慢。最后，尽管已存在两种拟多项式算法且有望开发出更快的算法，本次计算应当作为对那些仍在应用中提议依赖此类有限域离散对数安全性的密码学家的严肃警示。