破解“128位安全”的超奇异二元曲线（或如何在 ${\mathbb F}_{2^{4 \cdot 1223}}$ 和 ${\mathbb F}_{2^{12 \cdot 367}}$ 中求解离散对数）

在2012年底和2013年初，小特征有限域中的离散对数问题（DLP）经历了一系列突破性进展，最终由Barbulescu、Gaudry、Joux和Thomé提出了启发式拟多项式时间算法。利用这些进展，Adj、Menezes、Oliveira和Rodríguez-Henríquez分析了DLP的具体安全性，该问题源于文献中各种原本被认为具有128位安全性的亏格一和亏格二超奇异曲线的配对。特别地，他们认为新算法对 ${\mathbb F}_{2^{1223}}$ 上的亏格一曲线的安全性没有影响，并将 ${\mathbb F}_{2^{367}}$ 上的亏格二曲线的安全性降低到94.6位。在本文中，我们提出了一种新的域表示和高效的一般下降原理，它们共同使新技术更加实用。实际上，在“128位安全级别”下，我们的分析表明上述亏格一曲线大约有59位安全性，并且我们报告了对亏格二曲线的完全破解。