使用全套模 p 与阶 q 进行 Shor 算法离散对数问题仿真
量子物理
2025-10-06 v2
摘要
离散对数问题（DLP）是有限域上的问题，常用于经典密码学，经典计算机上尚无已知的多项式时间算法。然而，Shor 提供了在量子计算机上求解该问题的多项式时间算法。尽管如此，仅有少数示例仿真运行于一般模 p 与阶 q 的量子电路。本文构建了此类量子电路，并使用 PRIMEHPC FX700 量子模拟器求解了所有 1860 个可能的 p 与 q 的配对（最多 32 位量子比特）。从而获得并验证了成功概率值，这些值此前仅由 Eker\r{a} 通过经验方法分析。结果明确了 Shor 算法求解 DLP 成功概率的详细波形形状，已知为阶 q 的周期函数。此外，我们生成了 1015 个更大模 p 与阶 q 的量子电路，推估了电路规模，并对比了 p=2048 位时的安全素数群与 Schnorr 群。尽管在经典密码学中，当 p 相等时，安全素数群与 Schnorr 群的密码强度相同，但我们定量地展示了后者在比特长度上相对于前者的强度下降程度。特别是，通过实验和理论分析表明，当使用 Ripple Carry 加法器时，p=2048 位的 Schnorr 群在 Shor 量子算法下的密码强度几乎等同于 p=1024 位的安全素数群。
引用
@article{arxiv.2503.23939,
title = {Simulation of Shor algorithm for discrete logarithm problems with comprehensive pairs of modulo p and order q},
author = {Kaito Kishi and Junpei Yamaguchi and Tetsuya Izu and Noboru Kunihiro},
journal= {arXiv preprint arXiv:2503.23939},
year = {2025}
}