量子算法求解短离散对数问题的成功概率

Ekerå 和 Håstad 提出了 Shor 算法求解离散对数问题（DLP）的一个变体。与 Shor 原始算法不同，Ekerå-Håstad 算法在未知阶群中求解短 DLP。在本工作中，我们证明了 Ekerå-Håstad 算法单次运行恢复短对数 $d$ 的概率下界。由我们的界可知，对任意短 $d$，成功概率可轻易推高至 $1 - 10^{-10}$。达到如此高成功概率的关键在于利用中间相遇或随机游走技术在经典后处理中高效执行有限搜索。这些技术可推广以加速其他相关经典后处理算法。渐近地，当 $d$ 的位长 $m$ 趋于无穷时，若搜索空间界限以 $m$ 参数化，则成功概率趋于一。我们的结果直接适用于具有短指数的安全素数群中的 Diffie-Hellman，以及经由从 RSA 整数分解问题（IFP）到短 DLP 的归约而适用于 RSA。