有限群中半直离散对数问题的经典硬度

在有限群中提出的半直离散对数问题 (SDLP) 被认为是后量子密码协议的基础，基于其非阿贝尔结构将抵抗量子攻击的信念。然而，最近的研究表明，SDLP 在有限群中允许高效量子算法，这削弱了其量子抵抗性。这引出一个根本性问题：SDLP 在经典攻击下是否具有任何计算优势？本文针对不同有限群平台，研究 SDLP 的经典硬度。我们建立，群情形下的 SDLP 可重构为广义离散对数问题，使经典算法能够被 adapted 来研究其复杂性。我们提出了 SDLP 的具体 Baby-Step Giant-Step 算法适配方案，实现时间和空间复杂度为 O(√r)，其中 r 为 underlying cycle structure 的周期。通过理论分析和 SageMath 中的实验验证，我们表明 SDLP 的经典硬度在平台高度依赖，不能均匀超过标准 DLP。在有限域 F_p^* 中，两个问题的复杂度相当。意外地，在椭圆曲线 E(F_p) 中，SDLP 变为平凡问题，由于 bounded automorphism 群；在初等阿贝尔群 F_p^n 中，SDLP 的硬度可超过 DLP，具体取决于 automorphism 的特征值的结构。我们的发现表明，半直积的非阿贝尔结构并不 inherently 保证增加的经典硬度，表明寻找密码学应用中经典硬的问题需要更仔细地考虑底层代数结构。