Shor 椭圆曲线离散对数量子算法

我们较详细地展示了如何实现 Shor 用于离散对数的高效量子算法在椭圆曲线群这一特例上的版本。结果表明，对于此问题，较小的量子计算机能解决远超当前计算能力的问题，甚于整数分解。一个 160 位椭圆曲线密码密钥可在约 1000 个量子比特的量子计算机上被破解，而分解安全等价的 1024 位 RSA 模数将需要约 2000 个量子比特。本文仅考虑 GF($p$) 上的椭圆曲线，尚未涉及同样重要的 GF($2^n$) 上或其他有限域上的曲线。主要技术困难是实现 Euclid 最大公约数算法以计算模 $p$ 的乘法逆元。由于 Euclid 算法运行时间依赖于输入，遇到的困难之一是“量子停机问题”。