面向二维晶格的 Shor 椭圆曲线算法资源分析——基于改进量子加法器

量子计算机有望通过高效求解诸如椭圆曲线离散对数问题而破解经典密码系统。虽然针对 factoring-based 密码分析的资源估算已相当成熟，但针对在真实架构约束下执行的 Shor 椭圆曲线算法的评估仍寥寥无几。本文提出一种 carry-lookahead 量子加法器，实现 Toffoli 深度为 $\log n + \log\log n + O(1)$，仅需 $O(n)$ 个辅助 qubit，匹配最新性能水平，同时避免现有方法 $O(n\log n)$ 空间开销的严重问题。重要的是，我们的设计天然适配二维最近邻体系结构，仅引入常数因子开销。进一步，我们对在二维晶格上实现 Shor 椭圆曲线算法进行了全面资源分析。通过运用包含中间测量和经典控制操作的动态电路技术，本构想引入分段方法、蒙哥马利表示以及量子查表，显著降低长程门的开销。针对密码学相关参数，我们提供了精确的资源估算。特别是，破解基于现代公共密钥基础设施及比特币安全的 NIST P-256 曲线，需约 4300 个逻辑 qubit，逻辑 Toffoli 保真度约为 $10^{-9}$。这些结果为高效量子算术和实现 Shor 椭圆曲线算法的实验化提供了新的基准。