利用NFS-DL算法在GF$(p^n)$中更快速地计算个体离散对数

数域筛法（NFS）算法是在有限域 $\mathbb{F}_{p^n}$（其中 $p$ 为中到大，且 $n \geq 1$ 较小）中计算离散对数（DL）的最已知方法。该算法包含四个步骤：多项式选择、关系收集、线性代数以及最后的个体对数计算。第一步输出定义两个数域的两个多项式，以及从每个多项式上的整数模多项式环到 $\mathbb{F}_{p^n}$ 的映射。在关系收集和线性代数阶段之后，每个数域中元素子集的（虚拟）对数已知。给定 $\mathbb{F}_{p^n}$ 中的目标元素，第四步计算一个数域中的原像。如果能将目标原像写为已知（虚拟）对数的元素的乘积，则可推导出目标的离散对数。正如最近Logjam攻击所示，当这一步计算非常快时可能至关重要。但我们意识到，与素域和二次域 $\mathbb{F}_{p^2}$ 相比，在特征为中到大的非素域 $\mathbb{F}_{p^n}$（$n \geq 3$）中计算个体DL要慢得多。我们优化了个体DL的第一部分：\emph{引导步骤（booting step）}，通过显著减小原像范数的大小。其光滑概率更高，因此引导步骤的运行时间大为改善。我们的方法对于 $2 \leq n \leq 6$ 的小扩张域非常高效，并适用于中到大特征下任意 $n > 1$ 的情形。