可积与混沌模型中的复杂度增长

我们使用具有 $N$ 个 Majorana 费米子的 SYK 模型族，来研究自由、可积与混沌系统中时间演化的复杂度——其被表述为酉群流形上恒等算符与时间演化算符之间的最短测地线长度。最初，最短测地线沿时间演化轨迹，因此复杂度随时间线性增长。我们研究这种线性增长如何最终被共轭点的出现与累积所截断，共轭点标志着与时间演化轨迹相交的更短测地线的存在。通过解析与数值方法显式定位此类“捷径”，我们证明：(a) 在自由理论中，时间演化在多项式时间遇到共轭点；因此复杂度增长在 $O(\sqrt{N})$ 处截断，并且我们找到了一个显式算符以该复杂度“快进”自由的 $N$ 费米子时间演化；(b) 在一类相互作用可积理论中，复杂度上界为 $O({\rm poly}(N))$；(c) 在混沌理论中，我们认为共轭点直到指数时间 $O(e^N)$ 才出现，此后才可能找到逼近时间演化算符的无穷小邻近测地线。最后，我们探讨了自由、可积与混沌模型中本征态复杂度的概念。