混沌哈密顿量下时间演化的量子复杂性

我们研究大-$N$ 混沌系统中的时间演化量子复杂性，以 SYK 模型为主要例子。该复杂性预期在指数时间内线性增长，随后在其最大值处饱和，并且与作用于希尔伯特空间的酉算符流形上最短测地线的长度相关。利用 Euler-Arnold 形式体系，我们证明在恒等算符与时间演化算符 $e^{-iHt}$ 之间总存在一条长度随时间线性增长的测地线。该测地线在出现极小性阻碍之前都是最短的，此后它可能在局部或全局上不再是最短。我们确定了一个判据——本征态复杂性假说（ECH）——它限制了非对角能量本征态投影算符与理论的 $k$ 局域算符之间的重叠，并用它证明线性测地线至少在指数时间内是局部极小。我们通过数值证明大-$N$ SYK 模型（混沌的）满足 ECH，因此如全息对偶所预期的那样，在指数时间内对复杂性的线性增长没有局部阻碍。相反，我们也研究了 $N=2$ 费米子（可积的）情形，发现短时间线性复杂性增长后随之振荡。我们的分析将复杂性与物理理论的熟悉性质（如能谱和能量本征态结构）联系起来，并对假想的计算复杂性类分离 PSPACE $\nsubseteq$ BQP/poly 与 PSPACE $\nsubseteq$ BQSUBEXP/subexp，以及量子哈密顿量的“快进”具有启示。