生态学中的复杂系统：基于大尺度 Lotka-Volterra 模型与随机矩阵的导引

生态系统是典型的复杂动力系统，常由如下形式的耦合微分方程建模：$$\frac{d x_i}{d t} = x_i \varphi_i(x_1,\cdots, x_N)\ ,$$ 其中 $N$ 表示物种数，$x_i$ 为物种 $i$ 的丰度。在这类耦合微分方程中，Lotka-Volterra（LV）方程 $$\frac{d x_i}{d t} = x_i ( r_i - x_i +(\Gamma \mathbf{x})_i)\ ,$$ 扮演着特殊角色，因为 LV 模型在复杂性与可处理性之间取得了可接受的折衷。此处 $r_i$ 表示物种 $i$ 的内禀增长率，$\Gamma$ 为相互作用矩阵：$\Gamma_{ij}$ 表示物种 $j$ 对物种 $i$ 的影响。对于大 $N$，估计矩阵 $\Gamma$ 常是一项艰巨任务，一种替代方案是从随机抽取 $\Gamma$，以其有限个模型特征参数化其统计分布。处理大随机矩阵时，我们自然依赖随机矩阵理论（RMT）。本综述旨在呈现理论生态学与大型随机矩阵理论交叉处工作的概览，面向涵盖理论生态学、复杂系统、统计物理与数学生物学的跨学科读者。