嵌入空间的复杂网络：质量、拓扑距离与欧几里得距离之间的维数与标度关系

许多真实网络嵌入在空间中，其中某些网络的连边长度随距离呈幂律分布衰减。最近有迹象表明，此类系统可以用维数的概念来表征。在此，我们基于对嵌入在 $d_e=1$ 和 $d_e=2$ 维晶格上的模型网络进行的广泛数值模拟，为这一主张提供了进一步支持。我们通过以下两种方式的幂律标度评估维数 $d$：(a) 网络质量随欧几里得半径 $r$ 的变化，以及 (b) 随机游走者行进距离 $r$ 后返回原点的概率。两种方法得出的维数相同。对于 $\delta < d_e$ 的网络，$d$ 为无穷大；而对于 $\delta > 2d_e$，$d$ 取值为嵌入维数 $d_e$。在感兴趣的中间区域 $d_e \leq \delta < 2 d_e$，我们的数值结果表明 $d$ 从 $d = \infty$ 连续减小至 $d_e$，且当 $\delta$ 接近 $d_e$ 时，$d - d_e \sim (\delta - d_e)^{-1}$。最后，我们讨论了质量 $M$ 和欧几里得距离 $r$ 随拓扑距离 $\ell$ 的标度。我们的结果表明，在中间区域 $d_e \leq \delta < 2 d_e$，$M(\ell)$ 和 $r(\ell)$ 并不随 $\ell$ 呈幂律增加，而是呈拉伸指数增加，即 $M(\ell) \sim \exp [A \ell^{\delta' (2 - \delta')}]$ 和 $r(\ell) \sim \exp [B \ell^{\delta' (2 - \delta')}]$，其中 $\delta' = \delta/d_e$。参数 $A$ 和 $B$ 与 $d$ 的关系为 $d = A/B$，使得 $M(\ell) \sim r(\ell)^d$。对于 $\delta < d_e$，$M$ 随 $\ell$ 指数增加（正如 $\delta=0$ 时已知的那样），而 $r$ 为常数且与 $\ell$ 无关。对于 $\delta \geq 2d_e$，我们发现幂律标度，$M(\ell) \sim \ell^{d_\ell}$ 和 $r(\ell) \sim \ell^{1/d_{min}}$，且 $d_\ell \cdot d_{min} = d$。