理想不可压缩流体定常流动的复解析结构

本文在由曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 界定的周期二维渠道中，于无驻点的理想不可压缩流体定常流动集合上引入了解析 Banach 流形结构，其中 $f, g$ 为周期解析函数。该工作基于近期发现（Serfati, Shnirelman, Frisch 等），即对于定常流动，流函数的水平线（因而流线）是实解析曲线。此类函数的集合并非任何合理函数空间的线性子空间。然而，若将其元素视为由函数值参数化的水平线集合，我们便能在此集合中引入实解析 Banach 流形结构。若 $\psi(x,y)$ 为流函数，则流线方程为 $y=a(x,\psi)$，其中 $a(\cdot,\cdot)$ 是一个“部分解析”函数。这意味着该函数对第一个变量是解析的，而对第二个变量具有有限正则性。我们定义了直线上的解析函数空间（类似于 Hardy 空间）以及部分解析函数空间。方程 $\Delta\psi=F(\psi)$ 被转化为关于函数 $a(x,\psi)$ 的拟线性方程 $\Phi(a)=F$。利用复 Banach 空间中的解析隐函数定理，我们能够证明，对于接近常数的函数 $f(x), g(x)$，解 $a(x,\psi; F, f, g)$ 存在且解析依赖于参数 $F, f, g$。