多项式环的完备性

设 $k$ 为不可数域。我们证明，在 $n\ge 2$ 个变元的多项式环 $R:=k[X_1,\dots,X_n]$ 在其 adic 拓扑下是完备的。此外，我们还证明了在极大理想 $\goth m\subset R$ 处的局部化 $R_{\goth m}$ 也是 adic 完备的。第一个结果解决了 C. U. Jensen 的一个旧猜想，第二个结果解决了 L. Gruson 的一个猜想。我们的证明基于 Gruson 的一个结果，该结果（在两个变元情形下）表明，当 $R=k[X_1,X_2]$ 且 $\goth m=(X_1,X_2)$ 时，$R_{\goth m}$ 是 adic 完备的。