补完备的 MacNeille 完备化与分式代数

我们引入（$\ell$-）双幺半群作为有序代数，由偏序（格序）集上的两种相容幺半群结构组成。双幺半群为研究一般的补概念提供了合适的框架，该概念同时包含了有界分配格中的布尔补与幺半群中的乘法逆元。本文的核心问题是双幺半群能否以及如何嵌入到补双幺半群中，从而推广消去交换幺半群到其分式群以及有界分配格到其自由布尔扩张的嵌入。我们证明每个交换（$\ell$-）双幺半群确实以类似于 Dedekind--MacNeille 完备化的双重稠密方式嵌入到一个完备补交换 $\ell$-双幺半群中。此外，这一补完备化在项上等价于一个交换对合剩余格，有时包含一个更紧的补包络，类似于分式群。在消去交换幺半群的情形下，该分式代数恰为熟知的分式群，而在 Brouwer 代数（Heyting 代数）的情形下，它是一个（有界）幂等对合交换剩余格。这一分式代数的构造实际上给出了整剩余结构与对合剩余结构簇之间的范畴等价，其特例包含了已知的阿贝尔 $\ell$-群与其负锥之间以及 Sugihara 幺半群与其负锥之间的等价。