线上设施分配在直线上服务器一般布局的竞争分析

在带有服务器集合 $S$（共 $k$ 个服务器）与容量函数 $c:S\to\mathbb{N}$ 的线上直线设施分配 ${\rm OFAL}(S,c)$ 中，每个服务器 $s\in S$ 具有容量 $c(s)$ 并放置于一条直线上，请求在直线上逐个到达。线上算法的任务是在下一请求到达前，将当前请求不可撤销地匹配给一个有空余容量的服务器。算法最多可将 $c(s)$ 个请求匹配给服务器 $s\in S$。本文针对 $\mathrm{OFAL}(S,c)$ 提出一种新的线上算法 PTCP（关键点的策略转移），并证明 PTCP 是 $(2\alpha(S)+1)$-竞争的，其中 $\alpha(S)$ 直观上为 $S$ 的直径与 $S$ 中相邻两服务器最大距离之比。根据服务器布局，$\alpha(S)$ 的取值范围从常数（与 $k$ 无关）到 $k-1$。在 $\mathrm{OFAL}(S,c)$ 的所有已知算法中，当 $\alpha(S)$ 较小时该竞争比上界是最优的。我们还证明任意 MPFS（最偏好空闲服务器）算法的竞争比至少为 $2\alpha(S)+1$。对于 $\mathrm{OFAL}(S,c)$，回顾可知 MPFS 是一类竞争比不依赖于容量 $c$ 的算法，包含自然贪心算法与 PTCP 等。因此，这意味着 PTCP 在 MPFS 类中对于 $\mathrm{OFAL}(S,c)$ 是最优的。