CAT(0) 空间中紧集及其凸包闭包
度量几何
2021-09-14 v1
摘要
我们研究完备 CAT(0) 空间中紧集的凸包闭包。首先，对于局部紧的、正则或满足测地线扩张性质的 CAT(0) 空间，我们给出了关于紧集及其凸包闭包的刻画结果。随后受 Carathéodory 定理几何解释的启发，我们针对给定集合引入了穿线操作。我们证明了穿线在集合的交与并上表现出某种单调性，且穿线保持紧性。接着由穿线与任意等距映射的可交换性，我们证明了在平坦完备 CAT(0) 空间中，紧集的凸包闭包是紧的。我们将该理论应用于有限点集 Fréchet 均值的计算性，并证明只要底层空间为有限型，该均值可在至多有限步内构造出来。
引用
@article{arxiv.2109.06002,
title = {Compact sets and the closure of their convex hulls in CAT(0) spaces},
author = {Arian Bërdëllima},
journal= {arXiv preprint arXiv:2109.06002},
year = {2021}
}