共单调第二 Jackson 不等式

给定 $2s$ 个点 $y_i=-\pi\le y_{2s}<\ldots<y_1<\pi$。利用这些点，我们通过等式 $y_i=y_{i+2s}+2\pi$ 为所有整数索引 $i$ 定义点 $y_i$。若 $f$ 是 $2\pi$-周期函数，且当 $i$ 为奇数时 $f$ 在 $[y_i, y_{i-1}]$ 上不递减，当 $i$ 为偶数时 $f$ 在 $[y_i, y_{i-1}]$ 上不递增，则记作 $f\in\bigtriangleup^{(1)}(Y)$。我们用 $E_n^{(1)}(f;Y)$ 表示最佳一致共单调逼近的值。本文证明了如下定理——第二 Jackson 不等式的共单调类比。定理：若 $f\in\bigtriangleup^{(1)}(Y)\bigcap {\Bbb W}^r$，$r>2$，则 $$E_n^{(1)}(f;Y)\le \frac c{n^r},$$ 其中 $c=c(r,Y)=const$ 是仅依赖于 $r$ 和 $Y$ 的常数，${\Bbb W}^r$ 为 Sobolev 空间。