$2\pi$-周期函数三角多项式共单调逼近的一个反例

给定 $2s$ 个点 $y_i=-\pi\le y_{2s}<\ldots<y_1<\pi$。利用这些点，我们通过等式 $y_i=y_{i+2s}+2\pi$ 为所有整数索引 $i$ 定义点 $y_i$。若 $f$ 是 $2\pi$-周期函数，且当 $i$ 为奇数时 $f$ 在 $[y_i, y_{i-1}]$ 上不递减，当 $i$ 为偶数时 $f$ 在 $[y_i, y_{i-1}]$ 上不递增，则记作 $f\in\bigtriangleup^{(1)}(Y)$。我们用 $E_n^{(1)}(f;Y)$ 表示最佳一致共单调逼近的值。本文证明了如下共单调逼近的反例。例：对于每个 $k\in\Bbb N$，$k>3$，以及 $n\in\Bbb N$，存在一个函数 $f(x):=f(x;s,Y,n,k)$，使得 $f\in\bigtriangleup^{(1)}(Y)\bigcap{\Bbb C}^{(1)}$ 且 $$E_n^{(1)}(f;Y)>B_Yn^{\frac k3 -1}\frac 1n\omega_k\left(f';\frac 1n\right),$$ 其中 $B_Y=$const 是仅依赖于 $Y$ 和 $k$ 的常数；$\omega_k$ 是 $f$ 的 $k$ 阶光滑模。