关于“用于单站点成本密度矩阵重整化群基态搜索的受控键展开”的评论（扩展版）

在最近的一篇快报 [Phys. Rev. Lett. 130, 246402 (2023)] 中，Gleis、Li 和 von Delft 提出了一种扩展矩阵乘积态 (Matrix Product State) 波函数键维度的算法，其精度类似于双站点 DMRG，但计算效率更高，接近单站点 DMRG 的性能。受控键展开 (Controlled Bond Expansion, CBE) 算法利用投影到两个站点上的哈密顿量，并进一步投影到双站点切空间，以提取一组 $k$ 个矢量，用于扩展这两个站点之间的基底。CBE 通过一个复杂的五步奇异值分解 (SVD) 序列实现这一点，以便投影到双站点切空间并降低张量网络的键维度，从而使收缩能在 $O(dwD^3)$ 时间内完成。在本评论中，我们表明：(1) 投影到双站点切空间是不必要的，且通常无益；(2) 五步 SVD 序列可以被单个 $QR$ 分解（可选地结合一个 SVD）所取代，利用随机 SVD (RSVD) 可实现高精度并显著提高效率，其标度为 $O(dwkD^2)$，即最昂贵的操作仅关于键维度 $D$ 呈二次方，关于展开矢量数量 $k$ 呈线性；(3) 关于 CBE 算法变分性质的若干陈述是不正确的，其变分性质本质上与现有算法（包括双站点 DMRG 和单站点子空间展开 (3S)）相同；(4) 类似的 RSVD 方法可应用于 3S 算法，这将带来许多优于 CBE 的优势，特别是在具有长程相互作用的系统中。我们还对基准测试 MPS 算法以及计算效率相对于计算精度的总体关系发表了一些评论。