仿射型中双闭集的组合描述

设 $W$ 为 Coxeter 群,$\Phi^+$ 为其正根。$\Phi^+$ 的子集 $B$ 称为双闭的,若对任意根 $\alpha$、$\beta$ 与 $\gamma$,满足 $\gamma \in \mathbb{R}_{>0} \alpha + \mathbb{R}_{>0} \beta$,当 $\alpha$ 与 $\beta \in B$ 时有 $\gamma \in B$,且当 $\alpha$ 与 $\beta \not\in B$ 时有 $\gamma \not\in B$。有限双闭集是 $W$ 中元素的反演集,而有限反演集之间的包含关系即为 $W$ 上的弱序。Matthew Dyer 建议研究 $\Phi^+$ 所有双闭子集按包含关系排序所构成的偏序集,并猜想其为一完全格。作为朝向 Dyer 猜想的进展,我们对仿射根系中的所有双闭集进行了分类。我们给出了类型统一的描述,以及在经典类型 $\widetilde{A}$、$\widetilde{B}$、$\widetilde{C}$、$\widetilde{D}$ 中的具体模型。我们利用模型证明了在类型 $\widetilde{A}$ 与 $\widetilde{C}$ 中双闭集构成完全格。