非交换谱的余局部化与 bootstrap 范畴

我们构造了一个紧生成且闭对称幺半稳定的 $\infty$-范畴 $\mathtt{NSp'}$，并证明 $\mathtt{hNSp'}^{op}$ 包含由 Cuntz-Meyer-Rosenberg 构造的可分 $C^*$-代数的悬挂稳定同伦范畴 $\mathtt{\Sigma Ho^{C^*}}$ 作为全忠实三角子范畴。接着，我们构造了 $\mathtt{NSp'}$ 的两个余局部化，即 $\mathtt{NSp'}[\mathbb{K}^{-1}]$ 和 $\mathtt{NSp'}[\mathcal{Z}^{-1}]$，并证明二者均为紧生成且闭对称幺半的。我们证明了可分 $C^*$-代数的 Kasparov $KK$-范畴作为全忠实三角子范畴嵌入于 $\mathtt{KK_\infty} := \mathtt{NSp'}[\mathbb{K}^{-1}]^{op}$ 的同伦范畴中。因此，$\mathtt{KK_\infty}$ 应被视为任意 pointed 非交换空间（包括不可分 $C^*$-代数）的 Kasparov $KK$-范畴的稳定 $\infty$-范畴化身。作为一个应用，我们发现 $\mathtt{hNSp'}[\mathbb{K}^{-1}]$ 中的 bootstrap 范畴具有完全的代数描述。我们还在 $\mathtt{hKK_\infty}$ 中构造了一个 $K$-理论 bootstrap 范畴，扩展了 Rosenberg-Schochet 对 UCT 类的构造。受代数化问题的启发，我们最后分析了通过 $\mathtt{NSp'}$ 的各种余局部化中的 bootstrap 范畴引入的可分 $C^*$-代数上的若干等价关系。