粗可计算性、密度度量、图灵度间的Hausdorff距离、完美树与反推数学

$A$ 的粗相似类 $[A]$ 是与 $A$ 的对称差具有渐近密度 0 的所有 $B$ 的集合。在粗相似类空间 $\mathcal{S}$ 上存在一个自然度量 $\delta$，定义为令 $\delta([A],[B])$ 为 $A$ 与 $B$ 对称差的上密度。我们研究由此得到的度量空间，特别证明任意两个不同点之间存在连续统多条测地路径。我们还研究形如 $\{[A] : A \in \mathcal U\}$ 的子空间，其中 $\mathcal U$ 在图灵等价下封闭，并证明此类空间拓扑性质与 $\mathcal U$ 的可计算性理论性质之间存在紧密关联。随后我们基于该度量空间中的Hausdorff距离定义了图灵度之间的距离。我们改编了Monin的一个证明，表明出现的度间距离恰为 0、1/2 和 1，并从测度与范畴意义研究了哪些值出现最频繁。我们定义一度为吸引的，若所有与其距离为 1/2 的度的类具有测度 1，否则为离散的。我们研究了吸引度与离散度的分布。我们还研究了在此Hausdorff距离下图灵度度量空间的某些性质，特别是哪些可数度量空间可等距嵌入其中，给出了一个图论充分条件。我们也研究了源于Mycielski的一个Ramsey型定理的可计算性理论与反推数学方面，该定理特别蕴含存在一个其元素相互 1-random 的完美集，以及一个其元素相互 1-generic 的完美集。最后，我们从可计算性理论与反推数学的角度研究了 $(\mathcal S,\delta)$ 的完备性。