带有森林火灾的动力学 Erd\H{o}s-R\'{e}nyi 过程中的团簇增长

我们研究了 R\'{a}th 和 T\'{o}th [22] 的森林火灾模型中的团簇增长。该模型是一个连续时间马尔可夫过程，类似于动力学 Erd\H{o}s-R\'{e}nyi 随机图，但增加了所谓的“火灾”。顶点可能在任何时刻着火，一旦着火，会导致其连通团簇内的所有边燃烧，意味着它们瞬间消失。每条燃烧的边稍后可能会重新出现。我们精确描述了当模型中的顶点数趋于无穷大时，标记顶点团簇大小过程 $C_t$ 的行为。我们表明 $C_t$ 是一个具有时间非齐次后代分布的爆炸性分支过程，并在每次爆炸时瞬间返回到 1。此外，我们表明用于分析与该模型相关的 Smoluchowski 型凝聚方程的特征曲线，可以根据过程 $C_t$ 进行概率解释。