格拉斯曼流形的簇对偶与镜像对称

在本文中，我们利用格拉斯曼流形上的簇结构以及 plabic graphs 的组合学，从多面体的角度展示格拉斯曼流形镜像对称的新方面。对于我们的 $A$-模型，我们考虑格拉斯曼流形 $\mathbb X=Gr_{n-k}(\mathbb{C}^n)$。$B$-模型是一个朗道-金兹堡模型 $(\check{\mathbb X}^\circ, W_q:\check{\mathbb X}^\circ \to \mathbb{C})$，其中 $\check{\mathbb X}^\circ$ 是朗兰兹对偶格拉斯曼流形 $\check{\mathbb X} = Gr_k((\mathbb{C}^n)^*)$ 中某个特定反典范除子的补集，且超势 $W_q$ 可用 Plücker 坐标简单表示，参见 [MarshRietsch]。从给定的 plabic graph $G$ 我们得到两个坐标系：利用 Postnikov 和 Talaska 的工作，在我们的 $A$-模型中有一个正图表 $\Phi_G:(\mathbb{C}^*)^{k(n-k)}\to \mathbb X$；利用 Scott 的工作，在我们的 $B$-模型中有一个簇图表 $\Phi_G^{\vee}:(\mathbb{C}^*)^{k(n-k)}\to \check{\mathbb X}$。对于每个正图表 $\Phi_G$ 和正整数 $r$ 的选择，我们关联一个多面体 $NO_G^r$，将其构造为一组整数格点的凸包。该多面体是对应于 $\mathbb X$ 上线丛 $\mathcal O(r)$ 的 Newton-Okounkov 多面体的一个例子。另一方面，利用簇图表 $\Phi_G^{\vee}$ 和相同的正整数 $r$，我们通过“热带化”复合映射 $W_{t^r}\circ \Phi_G^{\vee}$ 得到一个用不等式描述的多面体 $Q_G^r$。我们的主要结果是多面体 $NO_G^r$ 与 $Q_G^r$ 重合。