最大平均度小于 4 的图的平方中的团

Hocquard、Kim 和 Pierron 为每个偶数 $D\ge 2$ 构造了一个最大度为 $D$ 的 2-退化图 $G_D$，使得 $\omega(G_D^2)=\frac52D$。我们针对（a）所有 2-退化图 $G$ 以及（b）所有满足 $\mbox{mad}(G)<4$ 的图 $G$，证明了其平方图 $G^2$ 的团数 $\omega(G^2)$ 的上界，该上界与上述构造给出的下界至多相差小的加法常数。我们证明：若 $G$ 是最大度为 $D$ 的 2-退化图，则 $\omega(G^2)\le \frac52D+72$（当 $D$ 足够大时 $\omega(G^2)\le \frac52D+60$）；若 $G$ 满足 $\mbox{mad}(G)<4$ 且最大度为 $D$，则 $\omega(G^2)\le \frac52D+532$。因此，Hocquard 等人的构造本质上是最优的。我们的证明引入了一种“令牌传递”技术，以推导 $G^2$ 中相邻顶点在 $G$ 中不相邻的关键信息。这是一种用于研究此类图的强大技术，此前文献中未见出现。