秩一子流形的分类

我们研究欧氏空间中的直纹子流形。首先，对每个（参数化）直纹子流形 $\sigma$，我们赋予一个取整数值的函数，称为度，用以度量 $\sigma$ 偏离柱面的程度。特别地，我们证明若度为常数且等于 $d$，则 $\sigma$ 的奇点只能出现在一个 $(m-d)$ 维的“严格”子流形上。这一结果使我们能将 $\mathbb{R}^{3}$ 中可展曲面的标准分类推广到整个无平面点的平坦直纹子流形族，即所谓的秩一子流形：每个秩一子流形的一个开且稠密子集是柱面、锥面和切平面的并集。