Riemannian 量子引力中的经典边值问题与自对偶 Taub-NUT-(anti)de Sitter 几何

本文在宇宙学常数为任意值的情况下，研究了 Einstein 场方程的经典边值问题，边界为紧致的 $S^{3}$ 边界，并给定由两个半径 $(a,b)$ 确定的双轴 Bianchi-IX 正定三维度规。对于具有该边界的流形的最简单拓扑（即四球拓扑），在自对偶 Weyl 曲率的 Taub-NUT-(anti)de Sitter 度规族中找到了正则的经典解。我们发现，对于任意选取的正半径 $(a,b)$，此类填充几何存在三个解。我们求出了这些解及其 Euclidean 作用量的精确解。进一步研究了宇宙学常数为负的情况。对于三球面的合理压扁，所有三个填充解的作用量均为实值，并具有“尖点突变”结构，其“突变流形”不自交，这意味着主导贡献来自球上唯一的实正定解。只要 $a$ 和 $b$ 之间满足某种不等式，即使三球面存在更大的形变，该正定解依然存在。当 $a$ 较大（$\sim b$）时，该解的作用量正比于 $-a^{3}$，因此更大的半径更受青睐。包含“螺栓”的更复杂内部拓扑的同一边值问题将在后续文章中研究。