选择 $L_p$ 损失中的 $p$：对称位置问题中的速率自适应

给定具有 $\text{Uniform}(\theta_0 - 1, \theta_0 + 1)$ 分布的单变量随机变量 $Y_1, \ldots, Y_n$，样本中程 $\frac{Y_{(n)}+Y_{(1)}}{2}$ 是 $\theta_0$ 的 MLE，并以 $1/n$ 阶的误差估计 $\theta_0$，这比通常的样本均值估计量的 $1/\sqrt{n}$ 误差率小得多。然而，当数据具有例如高斯 $N(\theta_0, 1)$ 分布时，样本中程表现不佳，其误差率为 $1/\sqrt{\log n}$。在本文中，我们提出了一种位置 $\theta_0$ 的估计量，其收敛速率在许多设定下能自适应于潜在分布——我们假设该分布关于 $\theta_0$ 对称但除此之外未知。当潜在分布具有紧支撑时，我们证明我们的估计量达到 $n^{-\frac{1}{\alpha}}$ 的收敛速率（至多相差多对数因子），其中速率参数 $\alpha$ 可取 $(0, 2]$ 中的任意值，并依赖于潜在分布的矩。我们的估计量由数据的 $\ell^\gamma$-中心构成，其中 $\gamma\geq2$ 以数据驱动的方式选择——通过最小化由渐近方差启发的准则。我们的方法可直接应用于回归设定，其中 $\theta_0$ 是观测特征的函数，并激励在某些设定中对 $\gamma > 2$ 使用 $\ell^\gamma$ 损失函数。